🌀 本当はおもしろい複素数の世界
STAGE 8 ― オイラーの等式 ―
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STAGE 8オイラーの等式
e^iπ ＋ 1 ＝ 0 ― 五つの数の出会い
🎯 ミッション
オイラーの公式 e^iθ＝cos θ＋i sin θ を理解し、θ＝π を入れて「世界一美しい式」に自分の手でたどり着こう。
未達成
ねこ博士
道具はすべてそろった。e^iθ は「単位円の上を、弧の長さθだけ回った点」。ところで単位円上の角度θの点の座標は、三角関数で（cos θ, sin θ）と書けるね。つまり――
うさ美
「右に cos θ、上に sin θ」の複素数だから……e^iθ ＝ cos θ ＋ i sin θ！
ねこ博士
これがオイラーの公式だ。指数関数（成長の世界）と三角関数（回転の世界）という、まるで別の大陸だった2つの世界が、i という橋でつながった。ちなみにド・モアブルの定理も（e^iθ）ⁿ＝e^inθ と書けば、指数法則そのものになる。
うさ美
あの唐突に見えた定理が、ただの「指数の掛け算ルール」になっちゃうんですね……。それで博士、θに何を入れるんですか？
ねこ博士
特等席の角度、θ＝π（半周＝180度）だ。単位円を1からスタートして、ちょうど半周。着地点はどこかな？
うさ美
半周したら、実軸の反対側……−1です。えっ、ということは e^iπ ＝ −1？？
実軸 虚軸 歩いた弧の長さ ＝ π（半周） スタート：1 着地：−1
e^iπ ＝「1 から単位円を弧の長さ π（半周）だけ回った点」＝ −1
オイラーの公式：e^iθ ＝ cos θ ＋ i sin θ θ＝π を代入：e^iπ ＝ cos π ＋ i sin π ＝ −1 ＋ 0i ＝ −1 e^iπ ＋ 1 ＝ 0
ねこ博士
これがオイラーの等式。「世界一美しい式」と呼ばれる理由は、出身地のまるで違う5つの数が、たった1つの短い式に、それぞれ1回ずつ現れるからだ。
0「無」を表す数。インドで生まれた
1すべての数の出発点
i回転の数。方程式から生まれた
e成長の数。利息の計算から生まれた
π円の数。円周と直径の比
うさ美
ふと思ったんですけど……主役の座、e じゃなくて 2 や 10 ではダメだったんですか？ たとえば 2^iπ でも −1 になるなら、eの立場がないというか……。
ねこ博士
では試してみよう。2^x は「年利約69%の連続複利」だったね。だから 2^iθ ＝（1＋0.693iθ/n）ⁿ と書けて、やはり微小回転の積み重ね――ちゃんと単位円の上を回る。ただし歩く速さが 0.693 しかない。θ 進んだときに回れる弧の長さは、θ ではなく 0.693θ なんだ。
うさ美
ということは、2^iπ が歩けるのは 0.693×π ≈ 2.18……。半周は π ≈ 3.14 だから――届かない！ 2^iπ は −1 になれないんですね。
ねこ博士
そう、2^iπ は半周手前の約125°、−0.57＋0.82i あたりで止まってしまう。逆に 10^iθ は速さ 2.303 で行き過ぎる――10^iπ は一周を通り越して約54°の位置だ。「歩いた弧の長さがちょうど θ」だから「θ＝π で、ちょうど半周＝−1」と言い切れるのは、速さぴったり1の e だけ。オイラーの等式の主役は、e にしか務まらないんだ。
実軸 虚軸 スタート：1 e^iπ ＝ −1 2^iπ 10^iπ
同じ θ＝π でも、歩く速さ0.693の 2^iπ は半周に届かず（約125°）、速さ2.303の 10^iπ は一周を通り越す（約54°）。ちょうど −1 に着地するのは、速さ1の e だけ
2^iθ ＝ 弧の長さ 0.693θ だけ回った点　→　2^iπ は半周に届かない（≈ −0.57＋0.82i） 10^iθ ＝ 弧の長さ 2.303θ だけ回った点　→　10^iπ は一周を通り越す（≈ 0.58＋0.81i） 「θ ＝ 歩いた弧の長さ」になるのは、歩く速さがちょうど1の e だけ　→　e^iπ＋1＝0 は e の特権
うさ美
もうひとつ気になります。角度をラジアンじゃなくて、慣れている「度」で書いたら、この式はどうなるんですか？
ねこ博士
やってみよう。1度は π/180 ラジアンだから、角度 d 度なら e^(i×d×π/180)＝cos d°＋i sin d°。ここに d＝180 を入れると……180 が約分されて、結局 e^iπ に戻ってしまう。π は消せないんだ。
うさ美
じゃあ、どうしても度数だけで書きたいなら……「1度だけ回る複素数」ζ（ゼータ）＝cos 1°＋i sin 1° ≈ 0.99985＋0.01745i を用意して、ζ¹⁸⁰＋1＝0……。正しいはずなのに、なんだか、ありがたみが減りますね。
ねこ博士
正しい式だが、無粋だね。底は説明の要る中途半端な数になり、「180」は古代バビロニアの60進法に由来するただの人間の取り決めで、e も π も式から消えてしまう。0、1、i、e、π が一堂に会する美しさは、「角度を弧の長さで測る」というラジアンの約束――自然にとっていちばん素直な測り方――があってこそ、なんだ。
度数で書くと：e^(i×d×π/180) ＝ cos d°＋i sin d°　→　d＝180 では 180 が約分され、e^iπ に戻る（πは消せない） 無理やり度数版：ζ（ゼータ）＝ cos 1°＋i sin 1° ≈ 0.99985＋0.01745i として　ζ¹⁸⁰＋1＝0　……正しいが、e も π も消えてしまう
うさ美
でも今の私には、この式が魔法じゃなくて「成長の数 e が、i のせいで回転させられて、円周率 π のぶんだけ歩いたら、−1 に着いた」っていう、具体的な散歩の話に見えます……！
ねこ博士
それこそが複素数の世界の歩き方だよ。数直線からはみ出した「ありえない数」は、実は数の世界を平面に広げ、成長と回転をひとつに結ぶ主役だった。ようこそ、複素数の世界へ。そして――全ステージクリア、おめでとう！
確認クイズ

Q1. e^iπ は？

Q2. では e^(iπ/2)（4分の1周）は？

Q3. オイラーの等式 e^iπ＋1＝0 に登場しない数は？

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