道具はすべてそろった。e^iθ は「単位円の上を、弧の長さθだけ回った点」。ところで単位円上の角度θの点の座標は、三角関数で（cos θ, sin θ）と書けるね。つまり――

その通り！ これがオイラーの公式だよ。指数関数（成長の世界）と三角関数（回転の世界）という、まるで別の大陸だった2つの世界が、i という橋でつながった。ちなみにド・モアブルの定理も（e^iθ）ⁿ＝e^inθ と書けば、指数法則そのものになる。

そうなんだ。さて、この公式の θ には、ぜひ入れてみたい特等席の角度がある――θ＝π（半周＝180度）。単位円を1からスタートして、ちょうど半周。着地点はどこかな？

そう、本当に −1 になるんだ。これがオイラーの等式。「世界一美しい式」と呼ばれる理由は、出身地のまるで違う5つの数が、たった1つの短い式に、それぞれ1回ずつ現れるからなんだ。

では試してみよう。2^x は「年利約69%の連続複利」だったね。だから 2^iθ ＝（1＋0.693iθ/n）ⁿ と書けて、やはり微小回転の積み重ね――ちゃんと単位円の上を回る。ただし歩く速さが 0.693 しかない。θ 進んだときに回れる弧の長さは、θ ではなく 0.693θ なんだ。

そう、2^iπ は半周手前の約125°、−0.57＋0.82i あたりで止まってしまう。逆に 10^iθ は速さ 2.303 で行き過ぎる――10^iπ は一周を通り越して約54°の位置だね。「歩いた弧の長さがちょうど θ」だから「θ＝π で、ちょうど半周＝−1」と言い切れるのは、速さぴったり1の e だけ。オイラーの等式の主役は、e にしか務まらないんだ。

やってみよう。ここで注意がひとつ。e^i×180 と、度の数値をそのまま指数に入れてはいけないよ。e の指数に入れてよいのは弧の長さの数値だけ。e^i×180 は「弧の長さ180」――半周どころか約28周半も回った先の、まったく別の点を指してしまう。だから度で書くなら、1度は π/180 ラジアンだから、角度 d 度を e^i×d×π/180＝cos d°＋i sin d° と、弧の長さに直してから入れる。ここに d＝180 を入れると……180 が約分されて、結局 e^iπ に戻ってしまう。e を主役にしたまま角度の単位だけ変えても、π は換算係数として式のどこかに残り続けるんだ。

正しい式だが、無粋だね。底は説明の要る中途半端な数になり、「180」は古代バビロニアの60進法に由来するただの人間の取り決めで、e も π も式から消えてしまう。0、1、i、e、π が一堂に会する美しさは、「角度を弧の長さで測る」というラジアンの約束――自然にとっていちばん素直な測り方――があってこそ、なんだ。

むう……手厳しいね。しかも半分は、その通りなんだ。式の見た目の簡潔さは、たしかに記法の選び方の産物だよ。中身だけなら ζ¹⁸⁰＋1＝0 と同じなのだから。ただ、ひとつだけ訂正がある。e とラジアンは、別々に選んだ2つの約束ではないんだ。底に e を選ぶと、e^ix の点は速さぴったり1で歩く――だから x は自動的に「歩いた弧の長さ」になる。e を選んだ瞬間、ラジアンのほうは選ばされている。そのうえで考えてみてほしい。e は利息の計算から、π は円の測量から、i は方程式の解から――誰も出会わせるつもりのないまま、別々の問題から生まれた数たちだよ。それぞれの分野で「いちばん自然な単位はどれか」と数学に問うたら、返ってきた答えが e であり、ラジアンだった。約束は約束でも、バビロニアの60進法のような人間の都合ではなく、数学の側が指定してきた約束なんだ。

そう、そこが核心だ。成長と回転がつながっているという事実そのものは、どんな記法を選んでも消えない。e とラジアンは、そのつながりを一点の曇りもなく見せてくれる、いわば自然が選んだ単位なんだ。わたしが「美しい」と言っているのは、インクの並びのことではなく、その継ぎ目のなさのこと。……とはいえ、この式が「当たり前」に見えるようになったのなら、それはきみが仕組みを全部たどった証拠でもあるね。

それこそが複素数の世界の歩き方だよ。数直線からはみ出した「ありえない数」は、実は数の世界を平面に広げ、成長と回転をひとつに結ぶ主役だった。ようこそ、複素数の世界へ。そして――全ステージクリア、おめでとう！