STAGE 7e ― もうひとつの主役
成長の数と、曲がり続ける成長
🎯 ミッション
利息の計算から e＝2.718… が生まれる様子を見て、「e^iθ ＝ 単位円の上を回る点」という直感を手に入れよう。
未達成
ねこ博士
オイラーの等式には、もう1人主役がいる。e＝2.71828…。こいつは銀行の利息から生まれた数なんだ。年利100%（1年で2倍）の夢の銀行に100万円を預けるとしよう。
うさ美
1年後に200万円ですね。それだけでも夢なのに……。
ねこ博士
ここで悪知恵を働かせる。「半年ごとに50%ずつ付けてくれ」と頼むと、1.5倍×1.5倍＝2.25倍。毎月なら（1＋1/12）¹²≒2.613倍。毎日なら≒2.7146倍。細かく刻むほど増える！
うさ美
じゃあ毎秒、いや毎瞬間つけてもらえば無限に増える……と思いきや、2.7146の伸びが鈍いですね。もしかして、限界がある……？
ねこ博士
鋭い。いくら細かく刻んでも 2.71828…＝e という壁を越えられない。これが「連続成長の限界値」、自然対数の底 e だ。
年利100%を細かく刻むほど1年後の倍率は増えるが、e＝2.71828… という限界値を越えられない
ねこ博士
いま出てきた、限界まで細かく刻んで毎瞬間・切れ目なく利息を付け続ける方式には、連続複利という名前が付いている。残高が時間とともにどう動くかをグラフにするとよくわかるよ。年1回なら、1年の終わりにポンと2倍になる階段。半年ごとなら2段の階段、毎月なら12段。刻みを細かくするほど階段は細かくなめらかになって、最後にはつるんとした1本の曲線に行き着く。この曲線こそが e^x だ。
利息を付ける刻みを細かくすると、残高の階段はなめらかになっていき、「毎瞬間つき続ける」連続複利では1本のなめらかな曲線 e^x になる
うさ美
本当だ、階段がどんどん曲線に近づいていく……。e^x は「究極まで細かく利息がつき続ける預金残高のカーブ」のことだったんですね。
ねこ博士
そのとおり。ところで、この預金の増え方には大事な特徴が隠れているよ。利息はいま口座にある金額に対して付く。だから残高100万円のときより、200万円に育ったときのほうが、同じ時間で増える額も2倍になるんだ。
うさ美
残高が多いほど、増えるスピードも速くなるんですね。細菌の増殖と同じだ……。100匹が1時間で100匹増えるなら、200匹に育った頃には1時間で200匹増える。
ねこ博士
その通り。この「持っている量が多いほど、増えるペースも速い」――言い換えると「増える速さが、常に今の量に比例する」成長を、切れ目なく続けたものが関数 e^x だ。お金も細菌も人口も、ほうっておくと勝手に増えるものは、みんなこの形になる。
うさ美
でも待ってください。「量に比例して増える」だけなら、2^x や 10^x でも同じですよね？ 2倍に育てば増えるペースも2倍。e だけの特徴ではない気がします。
ねこ博士
いい質問だ。そのとおり、1より大きい数の x乗はどれも「今の量に比例」して増える。ここで「増える速さ」の測り方をはっきりさせておこう。車のスピードメーターが「いまの時速」を表示できるのは、ごく短い時間に進んだ距離を、かかった時間で割っているからだ。増える量でも同じことができる。ちなみに、こうして「瞬間の変化の速さ」を求める計算には微分という名前が付いている――ここでは名前だけ知っていれば十分だよ。では実際に、x を 0.001 だけ進めて電卓で計算してみよう。
瞬間の増える速さ ＝（ごく短い時間に増えた量）÷（かかった時間） ……これを求める計算が「微分」
e^0.001 ＝ 1.0010005… → 0.001 の間に、今の量の約 0.0010 倍増えた → 速さ ＝ 今の量 × 1.0
2^0.001 ＝ 1.000693… → 0.001 の間に、今の量の約 0.00069 倍増えた → 速さ ＝ 今の量 × 0.69
10^0.001 ＝ 1.002305… → 0.001 の間に、今の量の約 0.0023 倍増えた → 速さ ＝ 今の量 × 2.3
うさ美
本当だ……。どれも「増えた量 ＝ 今の量 × 定数 × 時間」の形になっていて、定数は 2^x なら 0.69、10^x なら 2.3。そしてぴったり 1 になるのが e^x なんですね。
1枚目：どの指数関数も、xがマイナスの側では高さ0に限りなく近づき、x＝0でちょうど高さ1を通る。同じ「量に比例して増える」カーブ仲間で、定数（＝連続複利の年利）が大きいほど急な坂で立ち上がる。2枚目：x＝0付近の拡大図。点線は「x＝0 での傾きのまま、まっすぐ進んだ場合」の直線。e^x の出だしは、横に1進むと縦に1増えるちょうど45°の坂（傾き1）。2^x はそれよりゆるい傾き0.69、10^x はずっと急な傾き2.3で、電卓で出てきた定数の正体は「スタート地点での坂の急さ」だったのだ。曲線が点線の坂から上へ離れていくのは、量が増えるほど、増えるペース自体も速くなっていくから
ねこ博士
そういうこと。そしてこの定数の正体は、さっきグラフで見た連続複利の年利なんだ。e^x は年利100%の連続複利の残高曲線そのものだったね。同じ連続複利でも、年利を約69%に下げれば残高曲線は 2^x になり、約230%に上げれば 10^x になる。年利がちょうど100%――つまり増える速さが、今の量そのものと等しいのが e^x だ。もっとも、こうなるのは不思議な偶然ではないよ。「速さがちょうど今の量と等しくなる数」を探して、それに e と名前を付けたのだから、そうなるのは当たり前――いわば約束事なんだ。むしろ大事なのは、そんな数がただ1つ、ちゃんと存在してくれること。そしてこの「ぴったり1倍」という約束が、このあとの回転の話で効いてくるよ。
（1＋1/n）ⁿ は、n を大きくすると e＝2.71828… に近づく
e^x ＝ 増える速さが、常に今の量とぴったり等しい連続成長
（増える速さ＝今の残高×利率。2^x は年利約69%、10^x は年利約230%に相当し、年利ちょうど100%＝「速さ＝今の量×1」になるのが e^x）
ねこ博士
さあ、ここからが今日のクライマックスだ。指数の x に、虚数 iθ を入れてみたい。
うさ美
待ってください。i を「掛ける」と90度回転するのは分かりました。でも i を「指数に乗せる」……i乗って、そもそも何ですか？ 「i回掛ける」なんて、回数の意味が分かりません。
ねこ博士
素晴らしい、そこを疑うのが正しい。素朴に「i回掛ける」と読んでも、たしかに意味はない。そこで数学者は、e^x を掛け算だけの形に書き直してから x に iθ を入れるんだ。連続複利を思い出そう。e^x は（1＋x/n）のn乗の、nを限りなく大きくしたもの――つまり「1＋ほんの少し」を莫大な回数、掛け合わせたものだった。この形なら、xが虚数でも意味がはっきりする。e^iθ ＝（1＋iθ/n）を n回掛けたもの。ただの複素数の掛け算の繰り返しだから、これまでの道具がそのまま使えるよ。
うさ美
（1＋iθ/n）は、ガウス平面でいうと「1 から真上に θ/n だけ上がった点」……。長さはほとんど1で、偏角はほんの少し。ということは、これを掛けるたびに、点はほんの少しだけ回転するんですね！
ねこ博士
その通り。たとえば θ＝1、n＝1000 なら、（1＋0.001i）を掛けるたびに点は約0.001ずつ回り、1000回で合計およそ1回る。「i乗」の正体は、微小な回転の積み重ねなんだ。別の見方をすると、×（1＋0.001i）＝「今の量」＋「今の量×i×0.001」。一歩ごとに、今の量と同じ大きさのペースで、i の方向――自分から見て直角――へ進んでいる。e^x の「今の量に等しい速さで伸びる」成長が、i のせいで直角方向に曲げられたわけだ。
うさ美
進む方向にいつも直角に引っ張られる……。それって、まっすぐ進めずに、ずーっと曲がり続けるってことですよね。あ！ ハンマー投げだ！ ロープで直角に引っ張られ続けると、円を描いてぐるぐる回る！
ねこ博士
その通り、ハンマー投げのイメージで完璧だ。順番に確かめよう。まず原点からの距離がなぜ変わらないか。そもそも「原点から遠ざかる」とは、ロープの向きに沿って外側へ動くことで、「近づく」とはロープに沿って内側へ動くことだね。ところが e^iθ の点の動きは、いつでもロープと直角。外向きにも内向きにも、まったく動いていない。コンパスで円を描くときと同じだよ――鉛筆の先はいつも腕と直角の向きに動くから、針からの距離（＝腕の長さ）は変わらない。
うさ美
うーん、でも……直角に「一歩」動いたら、ほんの少しだけ遠ざかりませんか？ 三平方の定理で計算すると、距離1の点から直角に 0.001 だけ進んだときの新しい距離は √(1²＋0.001²)＝1.0000005……。わずかですけど、1より大きいです。
ねこ博士
実に鋭い、そのとおり！ まっすぐな一歩だと、円周から少しだけ外へふくらむ。ただし計算してくれたように、0.001 の一歩でのふくらみは 0.0000005――歩幅の2乗のレベルでしか出ない。歩幅を10分の1にすれば、ふくらみは100分の1になる。連続複利で刻みを細かくしていったときと同じで、切れ目なくなめらかに動く極限では、ふくらみは完全に消えるんだ。だから距離は1ちょうどのまま。スタートは原点から距離1の「1」だから、点はずっと距離1の場所だけを動く。距離1の点を集めた円が単位円――「単位円の上をぐるぐる回る」ことになるわけだ。
うさ美
距離1は保たれる、と。じゃあ、円の上をどれくらいの速さで回るんですか？
ねこ博士
その質問に答える前に、角度の測り方の約束をひとつさせてほしい。ふだん角度は「一周＝360度」で数えるね。数学にはもうひとつ、「単位円の上を歩いた弧の長さ」そのもので角度を表す測り方があって、これをラジアンと呼ぶ。小学校で習った円周の公式――円周 ＝ 直径 × 円周率 ＝ 2 × 半径 × π――を使うと、半径1の単位円の一周の道のりは 2π。だからラジアンでは一周＝2π、半周＝π、4分の1周＝π/2 になる。
ラジアン ＝「単位円の上を歩いた弧の長さ」で角度を言い表す測り方。円周＝2×半径×π なので、半径1なら一周の道のりが 2π。半分歩けば π、4分の1なら π/2
うさ美
角度を「何度回ったか」ではなく、「円周の上をどれだけ歩いたか」で表すんですね。その約束なら、「回った角度」と「歩いた道のり」が同じ1つの数になる……。
ねこ博士
その約束の上で、さっき電卓で確かめた「e の増える速さは今の量とぴったり等しい（×1）」が効いてくる。今の量の大きさはずっと1のままだから、点が円周を進む速さも、ずっと1。速さ1で θ のあいだ進めば、歩いた道のりは 1×θ＝θ。つまり e^iθ は、単位円の上を弧の長さ θ――ラジアンで測った角度 θ――だけ回った点なんだ。半周歩けば、θ＝π だよ。
e^iθ の点は、進む向きが常に「原点から見て直角」。だから長さ1のまま単位円を回り、θは回った弧の長さ（ラジアン）になる
i乗の意味：e^iθ ＝（1＋iθ/n）ⁿ（nは限りなく大きく）……「1＋微小×i」を掛け続ける ＝ 微小回転の積み重ね
「遠ざかる／近づく」＝ロープ方向の動き。直角の動きには、ロープ方向の成分がない
直角の一歩のふくらみ：√(1²＋0.001²) ＝ 1.0000005…（歩幅の2乗レベル → 刻みを細かくすると消える）
よって、動く向きが常にロープと直角なら距離1のまま ＝ 単位円の上を進む
ラジアン ＝ 角度を「単位円の弧の長さ」で測る流儀。円周＝2πr より、一周＝2π、半周＝π、4分の1周＝π/2
速さ ＝ 今の量 × 1 ＝ 1 → θ のあいだに歩く道のり ＝ 1 × θ ＝ θ（＝ラジアンで測った角度）
まとめ：e^iθ ＝ 単位円の上を、弧の長さ θ だけ回った点
確認クイズ
Q1. （1＋1/n）ⁿ は、n を大きくしていくとどの値に近づく？
正解！ 利息を細かく刻んでも無限には増えず、e＝2.71828…という限界値に近づく。これが自然対数の底 e の定義のひとつだ。
Q2. 関数 e^x の特徴として正しいのは？
正解！ 2^xなども「量に比例」して増えるけれど、速さが今の量とぴったり等しく（1倍に）なるのは e^x だけ。この性質が e^iθ の回転の話を支えている。
Q3. θ を増やしていくと、e^iθ の点はガウス平面上でどう動く？
正解！ 成長の向きが常に進行方向と直角だから、長さ1のまま回り続ける。ハンマー投げと同じ理屈だ。