STAGE6 ド・モアブルの定理 ― 本当はおもしろい複素数の世界

STAGE 6ド・モアブルの定理

回転をくり返すと円の上に正n角形

🎯 ミッション

ド・モアブルの定理を「回転のくり返し」として理解し、zⁿ＝1 の答えが単位円の上に正n角形を描くことを確かめよう。

未達成

ねこ博士

前のステージで「掛け算＝長さは掛け算、角度は足し算」を手に入れた。これを同じ数でくり返すとどうなるか考えよう。長さ1・角度θの複素数（cos θ＋i sin θ）を n 回掛けると？

うさ美

長さは1×1×…＝1のまま。角度はθをn回足すから nθ。つまり「長さ1・角度nθ」……（cos θ＋i sin θ）ⁿ＝cos nθ＋i sin nθ ですか？

ねこ博士

そう。それがド・モアブルの定理だ。教科書では突然出てくる公式だが、意味は「θ回転をn回やれば、nθ回転」というだけのこと。たとえば30度回転を6回くり返せば180度回転、つまり（cos 30°＋i sin 30°）⁶＝cos 180°＋i sin 180°＝−1 だ。

うさ美

6乗の計算が、時計の針をカチカチ回すみたいに一瞬で終わっちゃった……。

ねこ博士

今度は逆向きの問題だ。「5乗すると1になる数 z を全部探せ」（z⁵＝1）。実数の答えは1だけ。でも複素数の世界では「5回回転して、ちょうど一周（360度）に戻る回転」を探せばいい。うさ美くん、1回あたり何度の回転ならいい？

うさ美

360÷5＝72度！あ、でも2周して戻ってもいいから144度もあり……216度、288度、そして0度（回らない＝1）。全部で5個もある！

「5乗して1になる数」は5個あり、単位円の上に等間隔に並んで正五角形を描く。方程式の答えが図形になる瞬間

ド・モアブルの定理：（cos θ＋i sin θ）ⁿ ＝ cos nθ＋i sin nθ　……「θ回転をn回＝nθ回転」 zⁿ＝1 の解（1のn乗根）：角度 0°, 360°/n, 2×360°/n, … の n 個 → 単位円上の正n角形

ねこ博士

「方程式を解く」というただの計算が、複素数の世界では円をn等分して正n角形を描くという図形の話になる。19歳のガウスが正17角形の作図法を発見できたのも、この見方があったからだ。さて次は、最後の主役「e」に登場してもらおう。

確認クイズ

Q1. （cos 30°＋i sin 30°）⁶ は？

Q2. z⁴＝1 を満たす複素数 z（1の4乗根）は、全部でいくつある？

Q3. 1の5乗根（z⁵＝1 の解）をガウス平面に全部描くと、何の形になる？

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