STAGE 5長さと角度で表す ― 極形式
絶対値と偏角
🎯 ミッション
複素数を「原点からの長さ」と「角度」で表し直して、掛け算のルールが「長さは掛け算・角度は足し算」になることを確かめよう。
未達成
ねこ博士
「×i は90度回転」だとわかった。じゃあ「×(1＋i)」は何度の回転だろう？ それを考えるために、複素数の住所の書き方をもう1つ用意しよう。「右にa、上にb」の代わりに、「原点からの長さ」と「実軸からの角度」で表すんだ。
うさ美
地図でいうと、「東に3km、北に4km」の場所を「東から北へ約53度の方角へ、まっすぐ5km」と言い直すようなものですね。指す場所は同じで、言い方だけが変わる。
ねこ博士
まさにそれ。長さは絶対値と呼ばれ、|a＋bi| と書く。求め方は図を見れば一目瞭然――直角三角形の斜辺だから、三平方の定理だ。3＋4i なら √(3²＋4²)＝√25＝5。角度のほうは偏角と呼ぶ。
絶対値（原点からの長さ）は三平方の定理で求まる。ステージ5にして、中学数学のエースが登場
ねこ博士
「長さと角度」の書き方を式にする前に、cos と sin という記号を説明しておこう。難しいものではなくて、角度 θ の方角へ長さ1だけ進んだとき、横にどれだけ進んだかの値を cos θ、縦にどれだけ進んだかの値を sin θ と呼ぶ。「その角度の横成分・縦成分」に付けた名前、それだけなんだ。
うさ美
なら、進む長さが r のときは全部 r 倍して、横に r×cos θ、縦に r×sin θ ですね。複素数でいえば実部が r cos θ、虚部が r sin θ。つまり「長さ r・角度 θ」の複素数は r×（cos θ＋i sin θ） と書ける……！
絶対値：|a＋bi| ＝ √(a²＋b²) ……三平方の定理そのもの
cos θ ＝ 角度θへ長さ1進んだときの「横」の距離、sin θ ＝ そのときの「縦」の距離
極形式：複素数 ＝ 長さ r ×（cos θ ＋ i sin θ） ……横 r cos θ・縦 r sin θ の点のこと
ねこ博士
この書き方にすると、掛け算のルールが驚くほど美しくなる。「長さは掛け算、角度は足し算」。これだけだ。×i を思い出そう。i は「長さ1・角度90度」だから、掛けても長さは変わらず、角度だけ90度増える――まさに90度回転だ。
うさ美
じゃあ試してみます。1＋i は「長さ√2・角度45度」ですよね。これを2乗すると……長さは√2×√2＝2、角度は45度＋45度＝90度。「長さ2・角度90度」の点って……2i だ！
ねこ博士
検算しよう。（1＋i）²＝1＋2i＋i²＝1＋2i−1＝2i。ぴったり一致！ 面倒な展開計算をしなくても、「長さと角度」で考えれば掛け算の結果が図形的にわかる。これが極形式の威力だよ。
掛け算のルール：長さは掛け算、偏角は足し算
例：1＋i（長さ√2・角度45°）を2乗 → 長さ2・角度90° ＝ 2i
検算：（1＋i）² ＝ 1＋2i＋i² ＝ 2i ✓
確認クイズ
Q1. |3＋4i|（3＋4i の絶対値）は？
正解！ √(3²＋4²)＝√25＝5。有名な「3:4:5」の直角三角形だ。
Q2. 複素数どうしを掛け算すると、偏角（角度）はどうなる？
正解！ 「長さは掛け算、角度は足し算」。掛け算が回転になる理由はここにある。
Q3. （1＋i）² は？
正解！ 長さ√2→2、角度45°→90°で「長さ2・角度90°」＝2i。展開計算（1＋2i＋i²）でも同じ答えになる。