STAGE 4i を掛けると90度回る
掛け算の正体は回転だった
🎯 ミッション
「i を掛ける＝反時計回りに90度回転」を確かめて、i²＝−1 の意味を自分の目で見よう。
未達成
ねこ博士
さて、掛け算の番だ。実験してみよう。1 に i を掛けると？
うさ美
1×i＝i です。ガウス平面でいうと、実軸の「1」から虚軸の「i」へ……あ、点が上に90度回った！
ねこ博士
続けよう。i にもう一度 i を掛けると i²＝−1。「i」の点から「−1」の点へ、また90度。さらに掛けると −1×i＝−i、また90度。もう一度で −i×i＝−i²＝1。元に戻った。
うさ美
1 → i → −1 → −i → 1……。i を掛けるたびに、点が反時計回りに90度ずつ回ってる！ 4回掛けたら360度で一周だ。
i を掛けるたびに、点は反時計回りに90度回る。1 → i → −1 → −i → 1 で一周
ねこ博士
ここでステージ1を思い出してほしい。「×（−1）＝180度ターン」だったね。そして今、「×i＝90度ターン」だとわかった。つまり i²＝i を2回掛ける＝90度＋90度＝180度ターン＝×（−1）。
うさ美
あーっ！ 「i²＝−1」って、無理やり決めたルールじゃなくて、「90度回転を2回やると180度回転になる」という当たり前のことだったんですね！ i は「回転の途中の数」だったんだ……。
ねこ博士
これは 1 以外の複素数でも同じだ。たとえば（2＋i）×i ＝ 2i＋i² ＝ −1＋2i。ガウス平面に描くと、点（2, 1）が点（−1, 2）へ、ちょうど反時計回りに90度回った位置に移る。どんな複素数も、i を掛ければ原点のまわりを90度回るんだ。
×i ＝ 反時計回りに90度回転
i² ＝ 90度＋90度 ＝ 180度回転 ＝ ×（−1） ✓ つじつまが合う！
例：（2＋i）×i ＝ 2i＋i² ＝ −1＋2i ……点（2, 1）→点（−1, 2）へ90度回転
確認クイズ
Q1. 複素数に i を1回掛けると、ガウス平面上で点はどうなる？
正解！ ×i は「反時計回りに90度回転」。1→i→−1→−i の動きを思い出そう。長さは変わらない。
Q2. 1 に i を4回掛けると？
正解！ 90度×4回＝360度で一周して元どおり。式でも i⁴＝(i²)²＝(−1)²＝1 となる。
Q3. （2＋i）×i は？
正解！ （2＋i）×i＝2i＋i²＝−1＋2i。点（2, 1）が点（−1, 2）へ、きれいに90度回転している。