STAGE 3ガウス平面 ― 数が平面になった
複素数は「点」である
🎯 ミッション
複素数 a＋bi をガウス平面の点として置けるようになり、足し算を「矢印の継ぎ足し」として見よう。
未達成
ねこ博士
前のステージで「i の住所」の話をしたね。発想はこうだ。実数が数直線という横一列の直線に住んでいるなら――i には上方向に住んでもらえばいい。
うさ美
上、ですか！？ 数直線の外に飛び出しちゃうんですね。
ねこ博士
そう。横軸はいつもの数直線で実軸と呼ぶ。縦軸には i、2i、3i……を並べて虚軸と呼ぶ。すると複素数 a＋bi は「右に a、上に b」進んだ平面上の1点になる。この平面がガウス平面（複素数平面）だ。
うさ美
じゃあ 3＋2i は「右に3、上に2」の点。座標でいう（3, 2）の場所ですね。……あれ？ そうすると普通の実数3は（3, 0）、純粋な虚数2iは（0, 2）。実数も虚数も、ぜんぶ同じ平面の住人になるんだ！
ねこ博士
いいところに気づいた。「数」の世界が直線から平面へ、1次元から2次元へ広がったんだ。では足し算はどう見えるか。（3＋2i）＋（1＋i）を計算してごらん。
うさ美
実数どうし、iの付いた数どうしを足して……（3＋1）＋（2＋1）i＝4＋3i。あ、これって「右に1、上に1」だけ点が引っ越しただけですね！
複素数の足し算は、矢印（ベクトル）の継ぎ足し。（3＋2i）に（1＋i）を足すと、点が「右に1・上に1」だけ平行移動する
複素数 a＋bi ⇔ ガウス平面の点（a, b）
（3＋2i）＋（1＋i）＝（3＋1）＋（2＋1）i ＝ 4＋3i …… 足し算 ＝ 平行移動
ねこ博士
足し算の正体は「平行移動」だとわかった。では掛け算は平面の上で何をする操作なのか？ ここからが複素数のいちばん面白いところだよ。
確認クイズ
Q1. 複素数 3＋2i は、ガウス平面のどの位置にある？
正解！ 実部3が「右にいくつ」、虚部2が「上にいくつ」。座標の（3, 2）に対応する点だ。
Q2. （3＋2i）＋（1＋i）は？
正解！ 実部どうし（3＋1）、虚部どうし（2＋1）を足せばいい。平面の上では点が右に1・上に1だけ引っ越す。
Q3. 虚軸の上（原点以外）にある点は、どんな数？
正解！ 虚軸上の点は i、2i、−3i のような「実部が0の数」＝純虚数。ちなみに実軸上の点はいつもの実数だ。