STAGE 1数直線からはみ出した数
「2乗して−1」の謎
🎯 ミッション
「マイナスを掛ける＝数直線の反転」という見方を手に入れて、数直線のどこにもない数の謎に出会おう。
未達成
ねこ博士
今日から「複素数」の旅を始めよう。でもその前に質問だ。うさ美くん、（−1）×（−1）はいくつかな？
うさ美
＋1です。符号のルールとして当たり前に使っていますけど……あらためて「なぜ？」と聞かれると、意外と深い質問ですね。
ねこ博士
そう、深い質問なんだ。今日はそれを図形として見てみよう。「×（−1）」は、数直線を原点のまわりでくるっと反転させる操作だと思ってみる。3に×（−1）すると−3。ちょうど反対側に移るね。
うさ美
なるほど……。じゃあ−3にもう一度×（−1）すると、また反転して＋3に戻る。反転を2回やると元の側に戻るから、マイナス×マイナスはプラス、なんですね！
ねこ博士
その通り。ただし断っておくと、これは「なぜマイナス×マイナスがプラスか」の証明ではなく、計算のルールとぴったり合う「見方」だ。意味のうえでのきちんとした説明は今日は省くよ。それでもこの「掛け算を回転として見る」発想こそが、複素数の世界への入り口になるんだ。
「×（−1）」は数直線を原点でくるっと反転させる操作。2回反転すると元に戻るので、（−1）×（−1）＝＋1
×（−1）＝ 反転（180度ターン）
反転 × 反転 ＝ 元どおり → （−1）×（−1）＝ ＋1
ねこ博士
ここで本題だ。どんな実数も、2乗すると必ず0以上になる。プラスを2乗してもプラス、マイナスを2乗してもプラスだからね。……では、「2乗すると−1になる数」はどこにあると思う？
うさ美
えっ……数直線の右側（プラス）にも左側（マイナス）にもないですよね。0でもないし。数直線の上には、どこにも居場所がない……？
ねこ博士
その通り。数直線の上にはない。でもヒントはもう出ているよ。「×（−1）が180度ターンなら、90度ターンに当たる数があってもいいんじゃないか？」――この謎を抱えたまま、次のステージへ進もう。
確認クイズ
Q1. （−3）×（−1）はいくつ？
正解！ −3を「反転」させると＋3。反転を2回くり返すと元に戻る、というイメージが持てればOK。
Q2. 2乗すると−1になる実数（数直線上の数）は？
正解！ プラスもマイナスも2乗すればプラス、0の2乗は0。だから数直線の上には「2乗して−1」になる数はどこにもないんだ。
Q3. 「×（−1）＝180度ターン」だとすると、「90度ターン」を2回続けるのは何と同じ？
正解！ 90度＋90度＝180度ターン＝×（−1）。つまり「90度ターンに当たる数」があるなら、その数は2乗すると−1になるはず……。その正体は次のステージで。